الاعداد الاوليه

الأعداد الأولية
اعداد أ. محمد شكري الجماصي
===============
كل عدد عدا الواحد الصحيح يقبل القسمة (له قاسمان فقط) على نفسه والواحد الصحيح فقط يعرف بالعدد الأولي مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، ... في حين العدد 4 ليس عدد أولي لكونه له ثلاثة قواسم هي 1 ، 2 ، 4 وإن الأعداد الأولية تمثل أحجار البناء للتعبير عن العدد الطبيعي حيث أن كل عدد طبيعي يمكن كتابته على صورة حاصل ضرب عدة أعداد أولية ومثال ذلك 12 = 2 × 2 × 3 وكذلك 18 = 2 × 3 × 3 وقد بين العالم أقليدس في القرن الثالث قبل الميلاد أن متتابعة الأعداد الأولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، ... غير منتهية في حين أن العالم جولدباخ (1690 ـ 1764م) لاحظ إن كل عدد زوجي عدا 2 هو عبارة عن مجموع عددين أوليين مثل 8 = 3 + 5 ، 10= 3 + 7 ولم يتوصل أحد للآن على برهنة هذه الملاحظة أو يعطي مثال عددي ينفيها ولا يستغرب المرء إذا قيل له أن العلماء اكتشفوا أكبر عدد أولي يكتب بخط صغير على ورقة طولها خمسة كيلومترات جرى اكتشافه مؤخراً.
نعرف قاعدة العدد الأولي وتقول ( 2 أس ن مطروحاً منه 1 ) هو عدد أولي حيث ن عدد أولي فمثلاً 2 أس 3 ـ 1 = 8 ـ 1 = 7 إلا أنه في عام 1536م أثبت العالم ريجيوس ( Regius ) عدم صحة ذلك للعدد 11 حيث كان الناتج 2047 وهو حاصل ضرب 89 × 23 وتوالت عدة قواعد للعدد الأولي من العلماء منهم من يصيب ومنهم من يخطئ بسبب عدم القدرة على تحقق ذلك في حينه فالعالم الفرنسي مارين ميرسين (Marin Mersenne) 1588-1648م والمشهور باسمه ميرسين حيث ظل اسمه ملتصقا بهذه الأعداد برغم ذكره بصورة خاطئة القاعدة للأعداد 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 13، 17، 19 ، 31، 67 ، 127 ، 257 وانتهى الأمر بوضع قائمة خاصة بقيم ن الوارد في القاعدة السابقة وأكبر الأعداد لقيمة ن = 13466917 سنة 2001م وهو عدد لا يمكن تصور ناتج هذا العدد عند وضعه في القاعدة السابقة (2 أس 13466917 ) ـ1 وتعرف بقائمة أعداد ميرسين. ومن قبل في ولاية تكساس الأمريكية، وفي عام 1985م وباستخدام أجهزة كمبيوتر فائقة، تم حساب أكبر عدد أولي معروف حتى الآن، ويتكون من 65050 رقما، ويعبر عنه رياضيًا هكذا: (2160912 + 1( لقد استغرق عمل الكمبيوتر حوالي 3 ساعات للتأكد من أن هذا العدد يعتبر عددًا أوليًا. . وكان الجهاز يعمل أثناء ذلك بمعدل 400 مليون عملية حسابية في الثانية !! وأعلنت النتيجة عبر إذاعة (BBC) البريطانية في الساعة السابعة والنصف من صباح الثامن عشر من سبتمبر عام 1985م.
لقد بينا أن العدد (2 أس ن) ــ1 عدد أولي إذا كان ن عدد أولي حيث ن أقل من 11 ولكن عكس القاعدة صحيح بمعنى إذا كان 2 أس ن ــ1 عدد أولى فإن ن عدداً أولياً وللأعداد الأولية علاقة بالأعداد التامة حيث العدد التام هو ما كان مجموع عوامله يساوي العدد نفسه مثل العدد 6 = 1 + 2+ 3 والعدد 28 = 1 + 2+ 4+ 7+ 14 والعددان 496 ، 8128 وهي الأعداد الأربع المعروفة حتى عصر المسيح عليه السلام ولو وضعت بالنظام الثنائي لكانت 110 ، 11100 ، 1111110000 ، 11111110000000 وإذا كررت الجمع لأرقام العدد سنحصل على العدد 1 فمثلاً 496 نحصل على 4 + 9 + 6 = 19 وبجمع أرقامه 1 + 9 = 10 وبجمع 0 + 1 = 1 وكذلك الحال مع العدد 8128 فتحصل على 8 + 1 + 2+ 8 = 19 وهذا 1 + 9 = 10 وبجمع 0 + 1 = 1 ولكن هل يوجد عدد تام فردي أو أعداد أخرى؟ وللأسف لم يجد العلماء حل حتى الآن وأن وجد فسيكون كبيراً جداً.
ولا بد هنا من ذكر الأعداد المتحابة والتي تطلق على كل زوج من الأعداد الصحيحة يكون مجموع العوامل الفعلية المختلفة لأحدهما مساو للعدد الآخر، مثلا، العددان 220 و284 لأن عوامل 284 هي 1 ، 2 ، 4 ، 71 ، 142 ، وهذه مجموعها 220 ، كما أن عوامل العدد 220 هي 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 11 ، 20 ، 22 ، 44 ، 55 ، 110 و هذه مجموعها 284
إن معرفة عدد ما من حيث كونه أولي أو غير أولى أمر ليس سهلاً للأعداد الكبيرة سواء بطرق الحذف أو القسمة وحتى الصغيرة أيضاً، إلا أن من له دراية بالحاسب الآلي فمن السهل المعرفة وخاصة في برنامج اكسل المشهور بشرط معرفة الأعداد الأولية الأقل من 1000 في الحد الأدنى والتي عددها 1229 عدداً أولياً والتي يمكن الحصول عليها من الرابط http://www.alargam.com/numbers/prime/10000.htm
أو http://www.angelfire.com/ab2/shukri/mawaqf/primertab.htm
لقد كان لوجود الحاسب الآلي الفضل في إيجاد أعداد أوليه كبيرة حيث كان من الصعب على علماء ما قبل الحاسب الآلي الوصول لها حيث كان آخر اختبار سنة 1930 للعدد الأولي بدون استخدام الحاسب الآلي وهنا ليس مجال شرح النظريات الخاصة بالعدد الأولي أو العدد التام والعلاقة بينهما ولكن سنذكر العرض بقيمة 7 مليون دولار لسبع مسائل في الرياضيات لمن يصل لحل إحداها بمليون دولار وكان هذا العرض في 1900م خلال عامين ومن بين هذه المسائل فرضية ريمان (عالم الرياضيات الألماني يرنهارد ريمان 1826-1866) التي وردت على لائحة هيلبرث قبل مائة عام ويعتبرها الباحثون أهم مسألة في الرياضيات الأساسية، وتتناول هذه الفرضية ترتيب الأعداد الأولية التي لا يمكن قسمتها إلا على واحد أو على نفسها مثل 2 ، 3 ، 5. وتعتبر هذه اللائحة مفتاح اللغز المحيط بتوزيع الأعداد الأولية الذي لا يتبع أي قاعدة حتى الآن على ما يبدو، واعتقد أن هذا العرض ما زال قائماً.
ولعدم إمكانية سرد كافة التفاصيل الخاصة بالأعداد الأولية التي أوجزناها هنا نذكر هذا الرابط لمن أراد المعرفة بصورة أوسع وهو باللغة العربية وستجد الأصل بالإنجليزية من خلال الموقع نفسه.
http://www.geocities.com/mathboxplus/Primes/PrimeIndex.htm